Courbes

Exercice type 1 :
Soit la fonction paramétrique suivante : 
1) Voir le Domaine de définition.
2) Etudier les symétries.
3) Tracer le tableau de variation, 
4) puis la courbe.

1)	Type : Trouver les valeurs pour lesquelles x(t) ou y(t) n’existe pas
Pour x(t), t ne doit pas prendre les valeurs –1 et 1. Pour y(t), éviter 1. En somme, la courbe paramétrique existe seulement pour  
2)	Type : rechercher la parité ou l’imparité de x(t) et y(t) -> calculer x(t) et y(t)
Théorème 1 : 
Si pour une courbe f(x), f(x) = f(-x) alors la courbe est paire.
Si pour une courbe f(x), f(-x) = - f(x), alors la courbe est impaire.
Ici et , donc x(t) n’est ni paire ni impaire. De même pour y(t).
Il n’y a aucune symétrie d’axe Ox, ni d’axe Oy, ni de centre O. (Voir tableau en dessous)
FAQ : Et si il y a des fonctions paires ou impaires ? -> Si l’une des fonctions x ou y n’est ni paire ni impaire, on est dans le même cas, sinon, voir tableau.
FAQ : Aucune symétrie par Ox, Oy ou O, c’est tout par rapport à O. Et si on veut trouver une autre symétrie ? -> On décentre ! On change de repère :
Ex : x(t) = t + 2  n’est ni paire ni impaire. Posons X(t) = x(t) –2, alors X(t) est impaire ! Il est pratique dans ce cas de changer de repère. (et alors les symétries éventuelles se feront par rapport à un point d’abscisse –2)
Note : décentrer que si le changement de repère crève les yeux, sinon, c’est pas grave !
Symétries	y(t) paire	Y(t) impaire	
x(t) paire	?	Symétrie par rapport à Ox	
x(t) impaire	Symétrie par rapport à Oy	?	
3)	Type : comme en terminale, on cherche x’(t) et y’(t), on étudie le signe, et on cherche les limites au bout de chaque branche (flèche).
On calcule :			 	
t	-i			-1		0		1		2		+i

x’		-			-		-			-

x	0		        -i	     +i			       -i      +i		2/3		       0

y	-i		       --1/2		   0          -i	   +i		 4		 +i

y’		+			+	0	-			-	0	+

Tracer un tableau de variation n’est pas ce qu’il y a de plus dur, on calcule les limite ou les valeurs aux points intéressants (ceux ou on change de flèche), mais aussi ceux ou  l’autre fonction change de direction (comme le 2/3 de la fonction x à t=2 par exemple, car y change de direction à ce moment la.)
Recherche d’asymptotes : 
Il n’est pas facile de tracer une courbe paramétrique, alors déjà on a pas mal d’informations avec le tableau, mais il est important de connaître des asymptotes !
Comment on fait pour trouver toutes les asymptotes ?
On regarde les branches infinies (c’est à dire les branches (les flèches) qui on une extrémité vers + ou – l’infini). On récupère les valeurs de t correspondantes à ces extrémités infinies.
•	t  -infini        x(t)  0 et y(t)  -infini      on a une asymptote x=0 verticale
(quand x(t)constante et y(t)+/-infini, alors on a une asymptote x=constante.)
•	t-1		x(t) infini et y(t) -1/2    dans ce cas, asymptote y=-1/2
•	t+infini		asymptote x=0
•	t1		x(t)infini et y(t)infini, dans ce cas, on a surement une asymptote oblique : voilà comment on la trouve :
on calcule . A t = 1 (la valeur de t que l’on étudie), t(t-1)2
Donc a t = 1, y(t)/x(t)2, Type : On ramène tout d’un seul coté et on recalcule la limite.
FAQ : si ça tend vers +/-infini ? => oublie l’asymptote.
y(t)/x(t)2  y(t)  2x(t)  y(t) – 2x(t)  ?
(Ca y’est, on a tout ramené du même coté comme si le  était un = . Mais la, il ne faut pas dire qu’à droite on met 0 comme avec un = )
On recalcule la limite, on a y(t) – 2x(t)  3/2
On ramène à nouveau tout du même coté !  y(t) – 2x(t) –3/2  ?
Et la on trouve 0 ! 
FAQ : et si on ne trouve pas 0 ici ? => déjà, je ne sait pas si c’est possible, puis sinon, oublie l’asymptote. De toute façon, ces calculs servent uniquement à tracer une courbe plus juste.
Donc pour t = 1, y(t) – (2x(t) +3/2)  0
Et bien ce 2x(t) +3/2, c’est l’équation de l’asymptote qu’on cherchait. y = 2x + 3/2 
Note : A t = 1-, la limite de y(t) – (2x +3/2) est négative  la courbe est sous l’asymptote.
A t= 1+, la limite est positive, la courbe sur (au dessus de) l’asymptote.
4)	la courbe , type : on trace bien les asymptotes aussi :
spécifiques. 
Types : comment trouver des points d’intersections (on en voit plein sur le graph) ? 
Première chose à faire : trouver la valeur t du point d’intersection cherché.
•	Un point de la courbe coupant une asymptotes horizontales ou verticales  on connaît alors c tel que x(t) = c ou y(t) =c. On résout donc ! Attention à trouver des t dans le domaine de définition !
•	Un point coupant des asymptote oblique  on sait alors que y(t) – (ax(t)+b) = 0. Ou a et b définissent l’asymptote oblique, et on connaît a et b. On résout donc.
•	Un point de la courbe coupant un autre point de la courbe (appelé point double) on sait alors que l’on doit trouver t et s différents tels que x(t) = x(s) et y(t) = y(s) . C’est un système. (des fois ultra chiant à résoudre)
Deuxième étape : une fois qu’on a t, les coordonnées du point sont (x(t), y(t))
Ici, on a M(-2/3,-1/2) qui est un point de la courbe coupant l’asymptote Y=-1/2, N(-6/5,-9/10) coupant l’asymptote oblique y=2x+3/2, et A(-1,1) ou 2 valeurs de t différentes passent par la.

Exercice type 2 :
Cet exercice est moins détaillé mais va droit au but (comme Sony Anderson)

Domaine de définition :
x(t) n’existe pas pour t = 0, y(t) n’existe pas pour t = 0  domaine de def = R \ {0}
Symétries :
x(t) est impaire, mais y(t) n’est ni paire ni impaire  vite torché : pas de symétrie évidente
Tableau de variation :
Je vous laisse le dessiner.
, et 
Points singuliers : et ou sont les points pluriels ? (ahah !qu’il est drôle !)
Un point singulier est un point ou x(t) et y(t) s’inversent. C’est un pic sur la courbe. Recherchons les points singuliers :
Formule : on cherche les t vérifiant x’(t) = y’(t) = 0 pour connaître les points singuliers
t = 1 vérifie cette formule, donc S (x(t = 1), y(t = 1)) est un point singulier S (2,3/2)
C’est la seule solution, t = 1, on a donc qu’un seul point singulier. (on peut en avoir 0 ou 150)
Fonction « pente de la tangente »
On peut avoir la pente de la tangente à la courbe étudiée pour n’importe quelle valeur de t !
Formule : la fonction « pente de la tangente » se calcule .
La pente de la tangente au point singulier est m(t = 1) = 3/2
Recherche des asymptotes :
On regarde les branches infinies dans le tableau de variation que je n’ai pas fait. (si, je l’ai sous les yeux en fait, dégueulasse au brouillon, mais je l’ai)
•	t= - infini   x(t)= infini, y(t) = infini
Formule : pour trouver une asymptote oblique, on calcule  au point donné, expliqué mieux dans exercice type 1. 
Ici, la limite en – infini tend vers 1, on ramène tout a gauche, on calcule la limite de 
y(t)-1*x(t)  0.   Pas la peine d’aller plus loin, on a notre asymptote oblique y = x.
•	t  0 . x(t)  infini, y(t)  infini.  y(t)/x(t) infini. STOP ! pas d’asymptote ici. (il faut que ça tende vers une constante !)
•	t + infini . x(t)infini, y(t)infini. On constate vite ici qu’on fait le même calcul qu’en –infini, donc asymptote y=x
Recherche des points doubles :
On cherche à résoudre le systèmeavec t différent de s pour trouver les points doubles.
Ici, on ne trouve pas de solutions ! On constate donc qu’il n’y a pas de points doubles !
(mais alors quel bordel à résoudre, ce système)
Points d’inflexion ou de concavité
C’est quand la pente de la tangente change de direction.
Graphiquement, à l’inflexion, on se met à tourner à droite (RESP concavité : à gauche)
T	     -i					-1/2					+i
m’			+			   0 			-
						   -3
m

Comme on le voit, la pente de la tangente était croissante , puis à partir de –1/2, elle change de direction.
On dit que ce point tel que t = -1/2 est un point d’inflexion de la courbe (la tangente a alors comme pente –3), car il c’est un maximum (RESP concavité quand minimum)
Points de rebroussements :
On a un point singulier, c’est donc un point de rebroussement
Pour t = 1, m(t) = 3/2. A t = 1, on voit bien que la pente de la tangente est déjà en train de décroître et continue. Elle n’est ni minimum, ni maximum. On aura donc au point singulier (point de rebroussement) un truc ayant cette tronche :

Avec le trait en pointillé la tangente au point S. 
   S

Si cette pente avait été minimum pour le point S, alors on aurait eu un truc du genre :
Courbe : (On récupère toutes les informations)
Courbe :