8.1 Les différentes systèmes de numération :

                1) Le système décimal : base dix

(328)_dix = 8 + 2*10 + 3*10²

plus généralement

(an an-1 ...a1 a0)_dix =  a_i 10ⁱ

                2) Le système binaire : base deux

- chiffres : 0 et 1

- (an an-1 .... a1 a0)_deux= a_i 2ⁱ           ai appartient à {0,1}

ex : (1101)_deux         = 1 + 0*2 +1*2² + 1*2³

                                                                = 1 + 4 + 8
                                                                = 13

pour décomposer un entier en base 2

(35)_dix      = ( ? )_deux

                                = (100011)_deux

35            /               2

1                              17            /               2

                                1                              8              /               2

                                                                0                              4              /               2

                                                                                                0                              2              /               2

                                                                                                                                0                              1              /               2

                                                                                                                                                                1                              0

                3) Le système octal : base huit

- chiffres : 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7

- (an an-1 ... a1 a0) =  a_i 8ⁱ

exemple : (127)_huit = 7 + 2*8 + 1*8²

                                                                                = 87

pour décomposer un entier en base huit

35            /               8

3                              4              /               8

                                4                              0

(35)_dix = (43)_huit

                4) Système hexadécimal : base seize

- Chiffres : 0, ..., 9, A, B, C, D, E, F

- (an an-1 .... a1 a0)_H =  a_i 16ⁱ

- (1AB)_H                 = 11 + 10*16 + 1*16²

                                                = 11 + 160 + 256

                                                = 427

pour décomposer un entir en base seize :

632          /               16

152                          39            /               16

8                              7                              2              /               16

                                                                2                              0

(632)_dix = (278)_H

                5) Plus généralement : base b             (b appartient à N, b >= 2)

- chiffres : b symboles qui représentent les entiers 0, ..., b-1 (en général, on prend les dix premiers : 0, ..., 9

- (an an-1 ... a1 a0)_b =  a_i bⁱ

pour décomposer u entier N en base b

rappel :   division euclidienne de a par b

                                soit (a appartient à N) et (b appartient à N^*)

                                alors il existe 2 entiers uniques q et r tels que :

a = bq + r et 0 <= R < b

Remarque : notation :

                q = a div b

                r = a mod b

pour décomposer N en base b, on effectue les divisions euclidiennes par b

=> tout entier a une écriture unique en base b

Remarque :

dans toute base, (0)_b = 0

faire la table représentant les 20 premiers entier naturels dans les base Dix, deux, huit, seize :

8.2 Propriétés de l'écriture en base b

                1) Multiplication par la base

N s'écrit (an... a1 a0)_b

b*N s'écrit (an....a0 0)b : on décale l'écriture de N de 1 rang vers la gauche

                1) Division par la base

N s'écrit (an ... a1 a0)_b

N div b s'écrit (an ... a1)_b on décale de 1 rang vers la droite

N mod b = a0

8.3 Transcodage

Passage d'une base à une autre

- passage d'une base b au décimal : vu

- passage du décimal à la base b : vu

algorithme ecrire_en_base_b

Déclaration n, b, chiffres des entiers

Début

                demander_une_valeur_pour N
                demander_une_valeur_pour b
                tant_que (N > 0) faire
                                affecter_la_valeur de N mod b à chiffres
                                affecter_la_valeur_de N div b à N
                                montrer_la_valeur_de chiffres

                fintq

fin

passage d'une base à une autre : on passe par la base 10

sauf :

pour passer  du binaire à l'octal

M            = (1101011)_dix

                = 1 + 1*2 + 0*2² + 1*2³ + 0*2⁴ + 1*2⁵ + 1*2⁶

                = app à [0,7]  + 2³ (1 + 0*2 + 1*2²) + (2³)² (...)

                = (153)_huit

pratiquement :

- on ajoute des z&ros à gauche de manière à obtenir un nombre de chiffres multiple de 3

- on groupe les chiffres binaires par 3 et on les remplace  par l'écriture qu'elles représentent

ex : M     = (10011)_deux

                                = (010 011)_deux

                                = (2 3)_huit

passage du binaire à l'héxadécimal

pareil mais les groupements se font par 4

N             = (101011)_deux

                = (0010 1011)_deux

                = (2 B)_H

l'hexadécimal est utilisé pour coder les octets (8 bits)

un octet = b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0

                                = 2 chiffres hexadécimaux

8.4 Réprésentation des nombres fractionnaires an base b

Les nombres sont supposés positifs

                N un décimal

                Ent(N) désigne la partie entière de N
                Ent(N) < N < Ent(N)+1

                frac(N) est la partie fractionnaire de N
                frac(N)=N-Ent(N)

                ex : N = 3.72
                                Ent(N)=3
                                frac(N)=0.72

Exemple :

(13.72)_dix  = 1*10¹ + 3*10⁰ + 7*10^-1 + 2*10^-2

1) Ecriture des nombres fractionnaires en base b

N = (a_n a_n-1....a₁a₀, a_-1...a_-k)

représente le décimal :

 (i=-k à n) a_ibⁱ                    0<= a_i <b
                                                                                an<>0
                                                                                a-k<>0

(23,71)_huit                = 2* 8 + 2 + 7*8^-1 + 1*8^-2

                                                = 19 + 7/8 + 1/0.8

                                                = 19, 890625

La précision est le nombre de chiffres de la partie fractionnaire

2) Multiplication et division par la base

N = (a_n a_n-1... a1a0,a_-1...a_-k)_b

b×N = (a_n...a₀ a_-1, a_-2...a_-k)_b on déplace la virgule de 1 rang à droite

N/b = (a_n....a₁,a₀...a_-k)_b on déplace la virgule de 1 rang à gauche

N*8 = (237,1)_huit = (23,71)_huit * (10)_huit

N/8 = (2,371)_huit

3) Passage du décimal au binaire

exemple : (0,101)_deux = 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3

                                                                                = 1/2 + 1/8

                                                                                = 0.5 + 0.125

                                                                                = 0.625

Problème inverse

N un décimal = (?)_deux

N = (0,a₁ a₀....a_-k)_deux

N * 2 = (a_-1,a_-2,....a_-k)_deux

Ent(N*2) = a_-1

N*2 - a_-1 = (0,a_-2....a_-k)_deux

on recommence

....

N=0.3

2*0.3 = 0.6             => a-1=0
2*0.6 = 1.2             => a-2=1
2*0.2 = 0.4             => a-3=0
2*0.4 = 0.8             => a-4=0
2*0.8 = 1.6             => a-5=1
2*0.6 STOP

(0.3)_dix = (0,010011001...1001...)_deux

Récapitulatif :

Pour écrire un décimal N en base 2

1) on écrit la partie entière de N en base 2

2) on écrit la partie fractionnaire de N en base 2 en utilisant l'algorithme suivant

Algorithme décomposition d'un nombre fractionnaire en base 2

Déclaration
                precision, b, chiffres des entiers
                N, aux des nombres fractionnaires
Début
                Demander_une_valeur_pour N
                Affecter_la_valeur_de N à aux
                Demander_une_valeur_pour b
                Demander_une_valeur_pour precision
                Tant que (aux>0)  ou (precision=0) faire
                                Affecter_la_valeur_de b*aux à aux
                                Affecter_la_valeur_de precision-1  precision
                                Affecter_la_valeur_de Ent(aux) à chiffre
                                Montrer_la_valeur_de chiffre
                                Affecter_la_valeur_de aux-chiffre à aux
                Fintq
Fin

^{Source : www.fvirtman.fr.st – Auteur : Fman}
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