Exercice type : (culture : c’est la suite de Fibonacci)

Exprimer a en fonction de n pour calculer plus facilement un terme de la suite
On se sert de ce qu’on appelle une fonction génératrice.

On pose :  : formule à apprendre.

On a : , on va essayer de faire apparaître A(X). Idée, on multiplie tout par

(on essaie de faire apparaître les mêmes coefficients pour les a et les X associés, en multipliant par X et X²)

Il ne manque plus que le Sigma () qui va à l’infini.

Idée : écrire les équations avec différentes valeurs pour n (car c’est le n qui change dans le sigma), puis de tout ajouter. On a :

, (les n continuent jusqu’à l’infini)

(on comprend bien qu’on ne peut pas descendre plus bas, sinon, on aurait des a(-1) =>interdit)

Si on additionne toutes ces lignes puis qu’on arrange, on obtient :

Quand on a un Sigma qui part par exemple de 1 et qui va à l’infini, on peut remplacer le tout par un sigma qui part de 0, et enlever par la suite le terme n=0, ça revient au même. (cela explique le passage de la 1^e ligne à la 2^e ligne ci dessus).

Maintenant, on a fait apparaître les A(X) !

.

Je vous fait confiance pour remplacer les a1 et a0 par leurs valeurs données et isoler les A(X) on a :

Il faut simplifier ceci en réduisant cette fraction en petites fractions simples :

(on factorise le dénominateur avec )

(attention, les dénominateurs des petites fractions doivent être 1- aX,  sinon, bidouiller)

Il faut donc mettre A(X) sous cette forme. Ensuite, il faut trouver A, B, et , on applique la technique vu dans le chapitre « polynômes »

On a la solution générale :

(apprendre cette formule)

Dans cet exercice, la solution générale est

^{Source : www.fvirtman.fr.st – Auteur : Fman}
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