hypothèse du chapitre : régimes alternatifs sinusoïdaux de basse fréquence
On considère que l'intensité est la même en tout point d'une branche considérée

I - Expressions instantanées des intensités et des courants

u(t)= Um cos wt u(t) appartient à [-Um, +Um] Um = amplitude de la tension -Um, + Um sont les valeurs crête à crête w = pulsation rad.s-1

On fixe un sens arbitraire de U mais I est imposé par la convention générateur

i = im cos (wt -j)

w est le même que U d'où un régime forcé

Mais i n'a pas la même phase (j) => Déphasage

w = 2p/T

avec T = période : temps au bout duquel le temps se reproduit de façon identique à lui-même (en s)

et f = 1/T : fréquence : nombre de fois dont le phénomène se reproduit de façon identique à lui-même en une seconde (Hertz)

U=Um cos wt       <=> u origine des phases i = im cos (wt-j) <=> (-j)=phase à l'origine de i - Si j>0, i est en retard sur U - Si j<0, i est en avance sur U

=> Si on fait un changement d'origine des temps avec wt' = wt-j alors

U = Um cos(wt'+j)
i = Im cos wt'

Déphasages remarquable :

Si j=0           U et i sont en phase

Si j=p           U et i sont en opposition de phase

Si j=± p/2      U et I sont en quadrature

j= w(t - t') = 2p (t-t') / T

II - Valeurs efficaces des courants et tensions

u = Um cos wt

i = im cos (wt-j)

Puissance instantanée dégagée par effet joule

p(t)= Ri² = R im² cos²(wt-j)

<p(t)> est une période T     = 1/T ₀ò^T p(t)dt

                                                          = 1/T ₀ò^T R im² cos²(wt-j) dt

                                                          = Rim²/T ₀ò^T cos²(wt-j)dt

cos 2o = cos²o - sin²o
          = 1 - 2sin² o
          = 2 cos ²o + 1

=> cos ²o = (1 + cos 2o) / 2
  = Rim²/T ₀ò^T [1 + cos 2(wt-j)/2 dt
  = Rim²/T ₀ò^T dt/2 + Rim²/T ₀ò^T  cos 2(wt-j)dt
  = Rim²/T ₀[t]^T + Rim²/T ₀[ (Sin2(wt-j)) / (2*2w)]^T
  = Rim²/2 + Rim²/T [ sin 2(wt-j) - sin (-2j) /w]
  = 0

<p(t)> = Rim²/2

En continu, l'intensité I nécessaire pour produire la même puissance vérifie :

<P>=Ri²

On appelle intensité efficace I (ou Ieff), l'intensité d'un courant continu qui produirait la même puissance qu'en alternatif.

          I² = Im²/2 => I = Im / Ö2

On généralise aux tensions =>        Ueff : U = Um / Ö2

u(t) = Um/u Ö2 cos wt
i(t) = I Ö2 / im cos (wt -j)

Les appareils en alternatifs mesure

          en continu (=, DC)

          en alternatif (~,AC) -> valeurs efficaces

III - Loi d'Ohm instantanée

1) Résistance

Ur(t) = R ir(t)

Ur = Ur Ö2 cos wt
         ||
ir = Ur / R = Ur / R Ö2 cos wt           }        Ir = Ur/R
   = im cos(wt-j)                           }        jr=0
   = ir Ö2 cos(wt-j)                        }

Aux bornes d'une résistance u et i sont en phase

2) Bobine parfaite

Ul = L di/dt              <=>    il=ò (Ul Ö2 / L) cos wt dt = ul Ö2 / L (sin wt) / w

Ul = Ueff sqr(2) cos wt}      <=>    ( Ul 2) / Lw ) cos(wt - p/2)

il= Il sqr(2) cos wt}

Il = Ul / lw

j= + p/2

Aux bornes d'une bobine, i et en quadrature retard sur u

3) Condensateur parfait

uc = Uc sqr(2) cos wt
ic = Ic sqr(2) cos (wt-j)

q=Cuc }        ic = C duc/dt => ic   = C Uc sqr(2) (-wsin wt)
i = dq/dt}= c w Uc sqr(2) cos(wt+ p/2)

Aux bornes d'un condensateur, i est en quadrature avancée sur U

Ic = C w Uc             }        Uc = Ic / cw
jc = - p/2                }

Récapitulatif :

4) Association des 3 dipôoles

Ex : association en série RLC

i est la grandeur commune, on la prend comme origine des phases

i(t)               = I sqr(2) cos wt
ur(t)   = R I sqr(2) cos wt
ul(t)    = LwIsqr(2) cos (wt + p/2)
uc(t)   = I / Cw sqr(2) cos (wt - p/2)

          2criture directe à partir du tableau récapitulatif

u = ur + ul + uc

   = RIsqr(2) cos wt + LwI sqr(2) cos (wt+p/2) + I/Cw sqr(2) cos (wt-p/2)
                                      en avance de p/2               en retard de p/2
                                      sur i donc sur ur                 sur i donc sur ur

Si on veut calculer u pour trouver U Ö2 cos (wt+j)



^{Source : www.fvirtman.fr.st – Auteur : Fman}
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