I Régime forcé d'un circuit

Exemple : circuit RLC

u(t) = u Ö2 cos wt

U = Ur + Ul + Uc => dU/dt = dUr/dt + dUl/dt + dUc/dt

Ur =  RI

Ul = L di/dt              avec q = cUc <=> i = du/dt = R di/dt + L di²/dt + i/c

di²/dt + R/L di/dt + i/LC = 1/L du/dt

i = ip + ih

ih vérifie l'équation différentielle en remplaçant le 2nd membre par 0

d²ih/dt + R/L dih/dt + ih/LC = 0 (Régime libre)

ih = k1 e^r1t + k2 e^r2t             équation caractéristique

r² + R/L r + 1/LC = 0

D=R²/L² - 4/LC

-Si D>0         : r1 et r2 appartiennent à Régime apériodique

r1 = -R/2L + ½ ÖD     }

r2 = - R/2L - ½ÖD     }        r1 et r2 sont toutes deux inférieures à 0

D< R²/L²                                     }        => t-> a => ih->0

-Si D=0 r1=r2=-R/2L  régime critique

ih= (Dt + B)e^-(R/2L)t -> 0
                             t -> a

- Si D<0                            régime pseudopériodique

D        = - (4/LC - R²/LC)    }        r1 et r2 appartient à C

          = i²(4/LC - R²/L²)               }

ih = e^(-R/2L)t (K1e^(i/2)Öp + K2e^{(-i/2)Ö p})
                   |        Dcos Ö(p/2) t + B sin Ö(p/2) t
t->a    0        K cos ( Ö(p/2)t+q )

Pour t suffisamment grand, ih->0, quelque soit R,L,C
i(t)-> ip  régime permanent
ih constitue un régime transitoire

Le second membre est de la forme 1/L du/dt <=> alternatif sinusoidal de pulsation w, alors une solution particulière sera elle-même alternative sinusoidale de même pulsation w

Régime forcé

On pourra donc écrire
i -> ip = I Ö2 cos (wt-j)

le ut est de calculer U et I

La méthode algébrique étant longue et compliquée, on va pour décrire l'état électrique d'un réseau (valeur efficace des tensions et intensités, déphasage entre eux)

Utilisation :

          - Méthode vectorielle = méthode de Fresnel

          - Méthode symbolique = méthode complexe

II Méthode de Fresnel

          2.1 Principe général

g = Y Ö2 cos (wt +q) -> Y> de module YÖ2 tournant autour d'un point fixe O à la vitesse angulaire w

q est alors l'angle que fait Y> avec un axe origine à t=0

si        y1 = Y1 Ö2 cos (wt + q1)
          y2 = Y2 Ö2 cos (wt + q2)

on cherche y = y1 + y2 <=> Y>=Y1> + Y2>

je mesure Y1Ö2 wt1 + q1
          y= Y Ö2 cos (wt +q)

Simplification :

- Tous s verteurs tournent à la même vitesse angulaire, on peut effectuer l'opération vectorielle à t=0

- On peut également décider de prendre les valeurs efficaces et non les amplitudes pour module

u = U Ö2 cos (wt +j)

u> = [UÖ2 ;j] ou u> = [U ;j]

i = I> Ö2 cos (wt -j) ;

          I> = [ IÖ2 , -j ]
ou      I> = [I, - j ]

          2.2 Applications aux tensions et intensités

La graphe de Fresnel va permettre d'additionner :

          - des tensions entre elles (loi des mailles)

          - des intensités  (Loi des noeuds)

Méthodologie :

- Se munir d'une règle graduée et d'un rapporteur

- Si elle n'est pas imposée, choisir comme origine des phases la grandeur commune (i en série, u en parallèle)

- Déterminer les vecteurs associés aux grandeurs sinusoïdales (toutes en valeurs efficaces ou toutes amplitudes)

- Choisir une échelle commune aux grandeurs traitées (et s'y tenir)

Exemple 1 :

On cherche u = ur + ul + uc sachant que :

Ur = 4 Ö2 cos wt -> Ur> = [4 ; 0 ]

Ul = sqr(140) cos (wt + p/2) -> Ul> = [sqr(70) ; p/2 ] = [8,4 ; 90º]
Uc = 8 cos (wt - p/2) -> Uc> = [4Ö2 ; - p/2 ] = [5,65 ; -90º]

On mesure :

U = 4,8 V

q= 35 º

On peut calculer :

U = sqr ( Ur² + (Ul - Uc)² )

Tan |q| = | Ul - Uc | / Ur    => |q| = 34 º

U en avance sur i               => q = + 34º

U = 4.83 Ö2 cos (wt + 0.59 )
                                                          |-> q en radians

2ème exemple

i1 a pour valeur efficace 6 A et un retard de 30º sur U
i2 a pour valeur efficace 2 A et un retard de 45 º sur U
On cherche i = i1 - i2 sachant que U = 220 Ö2 cos 100 pt avec U origine des phases

i1 = 6 Ö2 cos (100 p t - p/6)           -> I1> = [6 ; -p/6]
                                 régime forcé
i2 = 2 Ö2 cos (100 p t + p/4)          -> I2> = [2 ; +p/4]

On mesure :                      On calcule :

I = 6,7 A                           I> = I1> + I2>

q= -14 º                                     Ix = I1x + I2x = I1 cos (-30º) + I2 cos (45º) = 6.61 A

                                                Iy = I1y + I2y = I1 sin (-30º) + I2 sin (45º) = 1,58 A

I = sqr( Ix² + Iy² ) = 6,8 A

tangente q = Iy / Ix            q= -13,5 º

i(t) = 6,8 Ö2 cos (100 p t - ( 13,5 p )/ 180 )

LES VECTEURS NE SONT PAS COLINEAIRES

          2.3 Applications aux dipôles élémentaires

On voit que le phi définie dans

u = U Ö2 cos wt -> i = I Ö2 cos (wt - phi)

U  = I Ö2 cos (wt-phi) -> i = Ö2 cos (wt)

f = (I>,U>)

orienté de i vers u

On appelle impédance

          d'une résistance
                   Zr = R

          d'une bobine
                   Zl = L w

          d'un condensateur
                   Zc =1 / c w

          homogène à des ohms

          2.4 Association de dipôles

Exemple 1 : Bobine réelle

<=> i = I Ö2 cos wt -> I = [ I; 0 ]

ul -> Ul> = [LwI; + p/2]

ur -> Ur> = [RI; 0 ]

u = ur + ul <->  U> = Ul> + Ur>

  Origine des j

Ul>  Ur> => u = Ö( ur² + ul²)

u = Ö( R²I² + L²w²I²)

u = Ö( R² + L²w²) I

Ö(R² + L²w²) = u/I = impédance du dipôle RL

tan j = ul / ur = LwI / RI = Lw/R

u(t) = Ö(R² + L²w²) I Ö2 cos (wt + Arctan Lw/R)

Exemple 2 : Condensateur réel

u = U Ö2 cos wt <-> u> = [u,0]

ir <-> Ir> = [ u/R, 0 ]

ic <-> Ic> = [Cw, + p/2 ]

i = ic + ir <-> I> = Ic> + Ir>

  origine des j

Ir> + Ic> => I = sqr( Ir² + Ic² ) = sqr( U²/R² + u²C²w²)

I = Ö( 1/R² + C²w²) u

1 / Ö( 1/R² + C²w²) = impédance du dipôle { R  C }

tan j = Ic / Ir = (u C w R) / u = R C w

i(t) = sqr( 1/R² + C²w²) u Ö2 cos (wt + arctan RCw)

j= (I>, u>) = - arctan RCw dans i = I Ö2 cos (wt -j)

          2.5 Limites de la méthode de Fresnel

Exemple :

u = 220 V
f = 50 Hz
R = 220 Ohm
L = 0.7 H -> Lw = L2pf = 220 Ohm
C = 7.25 µF -> 1 /Cw = 1/ C 2pf = 440 Ohm

On cherche i, i1 et i2

On pose u, origine des j

<=> u = 220 Ö2 cos (100 p t) <-> u> = [220,0]

i1 -> I1> = [ u/ (1/Cw) ; + p/2] = [220/400; + p/2] = [0.5; + p/2]

i2 > I2>         = [u / sqr(R²+L²w²) ; - arctan ( Lw / R ) ]

                   = [ 200 / sqr(220² + 220²) ; -arctan 220/220]

                   = [1 /Ö2; - p/4 ] = [ 0.707; - p/4]

Graphe à l'échelle :

origine des phases (u>)

Ix = 0 + I2 cos (-45) = 1/Ö2  Ö2/2 = 0.5 A  }
Iy = 0.5 + I2 sin(-45) = 0.5 - (Ö2/2)² = 0 A         } =

=> I> = I1> + I2> = [0.5, 0 ]
                                        ||
          i(t) = 0.5 Ö2 cos (100 p t)

Ur> = [RI2; - p/4 ] <- en phase avec I2

Ul> = [ LwI2; + p/4 ] <- en avance de p/2 sur I2

Ur + ul = U

Ur> + Ul> = U>

III - Méthode utilisant les complexes

          3.1 Principe général

Consiste à associer à une grandeur sinusoïdale un vecteur dans le plan complexe

y = Y Ö2 cos (wt +q) -> Y de module Y ou YÖ2 faisant donc l'axe des réels (prix comme origine des phases) <->  = Yeⁱq ou YÖ2eⁱq (avec i² = -1)
                                      Rappel :  = a+ib = Yeⁱq = [ y , q]
                                                                   coor    polaire Fresnel
                                                           de   { y = module
                                                                             { q = argument

Par identification

a = Re[y] = y cos q

b = Im[y] = y sin q

y² = a² + b²

cos q = a / y           sin q = b/y

          3.2 Application aux tensions et intensités

u = U Ö2 cos wt  <--> u = u eⁱq = U

i = IÖ2 cos (wt -j) <->  = I e-ⁱj
                                                            = I cos j - i I sin j

ou bien

u = U Ö2 cos (wt +j) <-> u = U eⁱj= Ucos j + i U sin j

i = I Ö2 cos (wt) <->  = I

Application :

* Loi des noeuds

i = i1 + i2 <->  = 1 + 2

i1 = 2Ö2 cos (wt + p/4) <-> 1 = 2 e^{i p/4}

i2 = 2Ö2 cos (wt + p/6) <-> 2 = 3e^-ip/6     = 3 (Ö3/2 - i/2)

 = Ö2 + iÖ2 + 3 (sqr(3)/2 - i/2)

          = 4 -1,18 i

I = 4,18 A

arg I = Arctan - 1,18 / 4 = - 16,44º ou - 16,44 + 180
                                                                   | ici car le

=> i(t) = 4,18 Ö2 cos(wt - (16,44 ×p)/180 )
                                                             --------------------
                                                                   0,28 radians

* Loi des mailles

     u2 ?

soit u = 220Ö2 cos wt

u1 = 50Ö2 cos (wt +p/3)

u= 220

u₁= 50 e^ip/3= 50 (1/2 - iÖ3/2 )

u = u1 + u2 <=> u2 = u - u1 <--> u₂=u-u₁

u₂ = 220 - (25 + 25 iÖ3 )      = 220 - 25 - 25 iÖ3= 195 - 25 iÖ3

u2 = Ö(195² + (25Ö3)² ) = 200 V

arg u₂ = arctan -25 Ö3 / 195 = -12,5º = - 0,22 rad

=> u2(t) = 200 Ö2 cos (wt - 0,22)

          3.2 Impédance complexe

U / I sont homogènes à des ohms, on appelle impédance complexe Z

Z= U /  = Z e^ij        = 2 cos j + i z sin j= R + i X

Re[Z] = R = résistance du dipôle

R= Z cos q

Im[Z] = X = Réactance du dipôle

X = Z sinq               peut être négative

Loi d'ohm en alternatif => u = Z I

Pour u origine des phases -> u = u

I = u / z = u / ze^iq = (u / z) e^-iq

I = u / z

arg I = - j = - arg z

Pour i origine des phases I = I

u = z I = z e^iq I

u = ZI

arg u = +j = arg z

en conclusion, on voit que dans z = z e^iq

j= arg z = déphasage entre i et u à ses bornes

j= arg z = (I>, u> )

          3.4 Admittance d'un dipôle

On définit l'admittance d'un dipôle complexe Y = 1 / z

z = ze^iq => y = 1/z e^-iq

-> y = 1/z

arg y = -j = - arg z

z = R + iX

y = G + i H

G = constance
H = susceptance

y = 1 / z  = 1 / (R + iX)       = 1 / (R + iX)   (R - iX) / (R-iX)

                                                          = (R - i X ) / (R² + X² )= (R / (R² + X²) ) - i ( X / (R² + X²))

          3.5 Application aux dipôles élémentaires

* Résistance

Zr = R
jr = 0
Zr = R

* Bobine idéale

Zl = Lw
jl = + p / 2
Zl = Lw e^ip/2 = iLw

* Condensateur idéal

Zc = 1 / Cw
jc = - p / 2
Zc = 1 / C w e^-ip/2 = - i / C w

Exmple d'application :

Une tension de 200 V (Ueff) , 50 Hz est appliquée à un circuit RLC série.
Déterminer l'intensité i sachant que R = 300, L = 300mH, C = 5 µF

1) Calculer w=100p

2) Caculer      Lw = 95 Ohms 1 / Cw = 637 Ohms

U = Z I

U = 200 (origine des phases)

Z        = Zr + Zl + Zc
          = R + iLw + 1/ iCw
          = R + i (Lw - 1/Cw)
          = 300 + i(95 - 637) = 300 - 542i

arg Z = j = - 61 º
arg Z = arctang - 542 / 300

Z        = sqr (300² + 542²)
          = 620 Ohms

I = U / Z => I = U / Z = 200 / 620 = 0,32 A

arg I   = arg U - arg Z

                   = 0 - j = + 61 º
                   = 61 p / 180 rad

i(t) = 0,32 Ö2cos (100pt + 61*p/180)

si demandé      I       = I cos j + I sin j
                                      = 0,32 cos 61 + 0,32 sin 61
                                      = 0,15 + 0,28i

          3.6 Application générales de la méthode complexe

Toutes les lois du continu sont applicables à condition de les utiliser sur les grandeurs complexes

* Lois de Kirchhoff

- Loi des mailles : S = 0

- Loi des noeuds : S I = 0

* Loi d'association des impédances

- série :   
               Z1     Zj      Zn

Zeq = S Zj

Zj = Rj + iXj

Re[Zeq] = Req = S Rj

- parallèle :      <=>  
                          
                         

1 / Zeq = S 1 / Zj <=> Yeq = S Yj

ATTENTION : 1/Req  différent de  S 1/Rj

* Théorème de superposition

* Théorème de thévenin

 <=>

Calcul de E_T

E_T = Z1 U / Z1 + Z2

(division de tension complexe)

Calcul de Z_T

Z_T = Z1 Z2 / Z1 + Z2

Alors I = ET / Z_T + Z           Loi de Pouillet en complexe

De façon générale, si les expression instantanées des intensités ou tensions ne sont pas demandés, l'état électrique d'un réseau sera considéré comme complètement décrit par les modules et les arguments de ces intensités ou tensions.

          3.7 Méthodologie des nombres complexes

X1      = a1 + i b1 = q1 e^io1

          = q1 cos o1 + i q sin o1

X2      = a2 + i b2 = q2 e^io2

          = q2 cos o2 + i q sin o2

* Addition ou soustraction

X        = X1 + X2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = a1 + a2 + i(b1 + b2)

          = a + ib

          = q e^io

a = a1 + a2
b = b1 + b2

=>      q= sqr( (a1+a2)² + (b1+b2)² )

          q= arg  (b1+b2)/(a1+a2)

* Multiplication (Forme polaire recommandée)

X        = X1 X2

          = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = a1a2 + b1b2 + i(a1b2 + a2b1)

          = q1 e^io2 2qe^io2 = q1 q2 e^i(o1+o2)

X        = a + ib

          = q e^io

          q = q1 q2
          q = q1 + q2

a = q cos q = q1q2 cos(q1 + q2)

b = q sin q = q1q2 cos(q1 + q2)

q = Ö((a1a2 + b1b2)² + (a1b2 + a2b1)²)

q = arctan ( a1b2 + a2b1 ) / (a1a2 - b1b2)

* Division (forme polaire conseillée)

X = X1 / X2 = q1 e^io1 / q2 e^io2 = q1 / q2 e^i(o1+o2)

X = a1 + ib1 / a2 + ib2 = ( a1a2 - b1b2 + i(b1a2 - a1b2) ) / ( a2² - b2² )

X = a + ib

a = ( a1a2 - b1b2 ) / ( a2² - b2² )

b = ( b1a2 - a1b2 ) / ( a2² - b2² )

* Elévation de la puissance (forme polair recommandée)

X = Xⁿ = (q1ⁿ e^ino)

q = q1ⁿ

O = nO

Ne pas oublier

arg nombre réel        >0      = 0
                                      <0      = p

Arg imaginaire          >0 = + p/ 2

                                       <0 = - p/ 2

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