I - Puissance instantanée, puissance active

          1.1 Puissance instantanée

Dipole :

u = Ö2 cos wt

i = IÖ2cos (wt -j)  (j= arg Z du dipôle)

A l'instant t p(t) = u(t) i(t) = 2UI cos (wt -j)

p(t), puissance instantanée, n'est pas accessible à la mesure

          1.2 Puissance active

cos p cos q = 1/2 [ cos (p+q) + cos(p-q) ]

p(t) = 1/2 * 2UI [ cos (2wt -j) + cos j ]

p(t) = UI cos j + UI cos (2w - j)
                   Terme constant        Terme fluctuent

Calculons la puissance moyenne mise en jeu pendant n périodes T

<p(t)> = 1/ nT ₀ò^nT p(t) dt = 1/ nT ₀ò^nT UIcos j dt + 1/ nT ₀ò^nT UIcos (2w -j )dt

<p(t)> = 1/nT UI cos 1/ nT cos j [t]^nt₀ + 1/nT UI [ sin (2wt - j) / 2w ]

<p(t)> = UI cos j + UI / nT2w [ sin (2wnT - j) + sin j ]

w = 2p / T => 2wnT = 4pn

sin(4nT - j) = sin -j

On appelle P = UI cos j (U et I sont les valeurs eficaces)

La puissance active du dipole est le puissance effectivement dégagée par le dipole (par effet joule dans les résistances du dipole)

Autre expression de P = UI cos j

U = Z I

avec Z = Ze ^ij

Z = Z cos j + I Z sin j

U = ZI => P = ZI² cos j = Z cos j I²
                                                           Re[Z]
P = RI²

Attention :     P = ( U² / Z )  cos j
                             R = Z cos j
                             P = U² / R cos² j

II - Puissance complexe, réactive, apparente

          2.1 Puissance complexe

Par homogénéité, on définit la puissance complexe

S = UI cos j + i UI sin j

S = UI e^ij

U = U
I = I e^-ij

S = U      (conjugué de I)

ou

S = 1/2 U I
          | si u = UÖ2 et I = IÖ2e^-ij

          2.2 Puissance réactive

On appelle Q = UI sin j = puissance réactive ( elle existe mais n'est pas effectivement dégagée )

Q -> VAR ( Volt Ampère Réactif )

j appartient à [-p/2; p/2]

Autre expression de Q

U = ZI et Z = Z cos j + i Z sin j = R + i X

Q = ZI² sin j

Q = XI²
          | avec son signe

          2.3 Puissance apparente

On appelle S = UI  = puissance apparente

S -> VA

Relations entre ces puissances

S = P + i Q
S = sqr( P² + Q²)

          2.4 Application aux dipoles élémentaires

          2.5 Théorème de Boucherot

S = U Ib si     { U = [ U , 0 ] et I = [ I , -j ]
                             { ou U = [ U, j ] et I = [ I , 0 ]
ou bien
S = (U Ib ) / 2  si U = [ u Ö2 ; 0 ] et I = [ IÖ2, -j ]

Loi des mailles :

U = S (j=1 à n) Uj I = S (j=1 à n) Sj P = S (j=1 à n) Pj Q = S (j=1 à n ) Qj

Attention : somme algébrique : avec leur signe

Sj = Pj + i Qj

S = P + iQ

Le raisonnement se réitérant pour 1 circuit parallèle ( en utilisant la loi des noeuds en complexes), on peut énoncer le théorème de Boucherot.

- La puissance active d'un réseau est égale à la somme des puissances actives consommées par chaque dipole du réseau

- Idem pour la puissance réactive (somme algébrique)

Zj = Rj  iXj traversé par Ij

Pj = Rj Ij²

Qj = Xj Ij²

D'où l'autre forme du théorème de Boucherot :

P = S (j=1 à n)                            Pj = S (j=1 à n) Rj Ij²

Q = S (j=1 à n)                            Qj = S (j=1 à n) Xj Ij²

Exemple :

Calcul de P et Q

1ère méthode par     P= U I cos j
                                                Q = U I sin j

On calcule Zeq = Z e^ij

                                      I = U / Z

2ème méthode : Boucherot

On calcule toutes les intensités (valeurs efficaces)

P =  RI1 + rI2                              } = UI cos j
Q = ( L w I2² ) - ( I3² / C w )        } = UI sin j

III - Facteur de puissance

          3.1 Définition

P = U I cos j  effectivement dégagée

I = P / (U cos j)

On appelle k = cos j = facteur de puissance

Donc pour une puissance facturée et une tension imposée, l'intensité I en ligne varie avec 1 / cos j
Les pertes Joules dans les lignes d'arrivée d'alimentation de résistance r s'élèvent à RI² pour EDF
Pour diminuer ces  pertes Joules, EDF peut alors :

          - diminuer r en augmentant le diamètre des fils (mais s'en suit un surcout)
          - augmenter U (problème de transport de hautes - tensions)
          - augmenter cos j

EDF impose donc aux usines un cos j (facteur de puissance) au moins égal à 0.8 seuil en-deça duquel ils facturent des pénalités.

          3.2 Relévement du facteur de puissance

Installation = beaucoup de moteurs => Bobinage => j > 0

Pour remonter le cos j (diminuer l'angle j), on monte des condensateurs en parallèle sur l'installation

Problème : Quelle capacité C à monter en parallèle pour remonter cos j à cos j' > cos j

intensité de l'installation inchangée

Dans l'alimentation : i -> i' = i + ic

1ère méthode : Par Fresnel

I'> = I> + Ic>

Ic> est en avance de p/2 sur u>

Ic = I sin j - I' sin j

I = U C w

C = ( I sin j - I' sin j )/ U w

2ème méthode : par Boucherot

IV - Adaptation d'impédances

On cherche Z (c'est à dire R et X) pour que la puissance dissipée dans Z soit maximale

P = R I²

I = U / Z0 + Z

I = u / ( R0 + R + i(X0 + X) )

=> I = u / Ö( (R0+R)² + (X0+X)² )  

P = RU² / ((R0+R)² + (X0+ X)²)

P = f(R,X)

P est maximale pour ( a P / a X )_R = 0

                                                (a P / a R )_X =0

(a P / a X)_R = ( RU² 2(X+X0) ) / [ (R+R0)² + (X+X0)² ]²  = 0

=> X = X0

=> P = RU² / (R+R0)²

=> d P / d R = ( (R+R0)² - 2R(R+R0) ) / (R+R0)⁴

d P / d R =( (R+R0 - 2R) / (R+R0)³ ) U²

                   = ( (R0-R) / (R+R0)³ )U = 0 (pour R=R0)

Concusion : La puissance dissipée dans Z est maximale quand
Z = R0 - i X0 = Z0

Alors P_max = U² / 4 R0²

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