On a vu que des réseaux comportant bobines et/ou condensateurs ont des impédances qui sont dépendante de la fréquence

Z = U / I

Donc à U fixé, I = f(w)

à I fixé, U = f(w)

On s'intéresse à présent à la réponse en fréquence de U ou de I

I - Réponse d'un circuit R,L

Ur = R U / R + iLw

-> Ar = Ur / U (coefficient  d'atténuation ou gain aux bornes de la résistance)

Ar = R / R + iLw

Ar = R / Ö( R² + L²w² )

arc Ar = 0 - arctan Lw / R

arc Ar = déphasage entre Ur et U
                   = - arctan Lw / R

Ul = iLw U / R + iLw

Al = iLw / R + iLw

-> Al = Lw / sqr(R² + L²w²)

          arg Al = + p/2 - arctg Lw / R

Pour tout w

Ur + Ul = U

<=> Ar + Al = 1

II - Réponse en fréquence d'un circuit RLC série à U fixé

          1) Comportement de l'impédance (Z)

Z = R + iLw -i / cw

Z = Ö( R² + (L w - 1/cw)² )

arg Z   = j = I>, U>
                   = arctan ( (Lw -  1/cw ) / R)

Quand :

w -> 0,                   Z-> a
                             et arg Z -> - p / 2

w -> a,                   Z -> a
                             et arg Z -> + p / 2

Z est minimale pour Lw - 1/cw = 0

<=> w = w0 = 1/ÖLc  pulsation propre

I = U / Z

I = U / Z à U fixé, I passe par un maximum (U/R) pour w=w0

Il y a résonance d'intensité

Remarque : à I fixé, U passe par un minimum pour w=w0. C'est l'anti-résonance

          2) Réponse aux bornes de R

Ur = RU / Z

-> Ur   = RU / Z
                   = RU / Ö(R² + (Lw-1/cw)²)
                   = R I

P = RI² = Ur² / R

P est maximale pour w=w0. Alors P_max = U² / R

Inversemment, on a atténuation pour P < P_max / 2

On définit 10 log P exprimé en décibels (dB).

On cherche le domaine de fréquence pour lequel la puissance aux bornes de la résistance supérieur à P_max / 2

10 log P >= 10 log P_max - 10 log 2
                                                             = 0.3

On cherche donc l'atténuation à - 3 dB

10 log Ur² / R >= 10 log U²/R - 3

<=> 20 log Ur - 10 log R >= 20 log U - 10 log R - 3

<=> 20 log Ur >= 20 log U - 3

P >= Pmax / 2 <=>    Ur² / R >= U² / 2R
                                      <=>    Ur >= U / Ö2
                                      <=>    RU / sqr( R² + (Lw - 1/cw)²) >= U / Ö2
                                      <=>    1 / sqr( 1 + (Lw / R - 1 / Rcw)² ) >= 1 / Ö2
                                      <=>    1 + (Lw / R - 1 / Rcw)² <= 2
                                      <=>    (Lw / R - 1 / Rcw ) <= 1

Dw      = w2 - w1
                   = bande passante

et w1 et w1 sont les pulsations de coupure à -3 dB

On pose x = w / w0 (on cherche donc x1 = w1 / w0  et  x2 = w2 / w0 )

On définit Q   = Lw0 / R
                             = 1 / RCw0
                             = facteur de qualité (ou de surtension)

On calcule w1 et w2 par les valeurs positives tirées de

(Lw / R  -  1 / Rcw)² = 1

( Qx - Q / x)² = 1     <=>    (x - 1/x)² = 1/Q²

                                      =>  x - 1/x = ± 1/ Q
                                                     = e / Q  (avec e = ± 1)

x² + ex / Q - 1 = 0

D        = e² / Q² + 4
          = 1 / Q² + 4

x1,2 = - e / Q ± Ö(D/ 2 )

* e = + 1                x1 = - 1 / 2Q + Ö( (1 / 4Q²) + 1) = w1 / w0

* e = - 1                          x2 = 1 / 2Q + Ö( (1/ 4 Q²) + 1) = w2 / w0

Dw      = w1 – w2 = w0 / Q

Plus Q est élevé, plus le circuit est sélectif

Aux bornes de R on a donc un filtre passe bande

          3) Réponse aux bornes de C

Uc      = ( Zc U )/ Z

          = U / ( icw [ R + i (Lw - 1/cw) ] )

          = U / ( iRcw + 1 - Lcw² )

Uc = U / sqr( (1 - Lcw² )² + R²L²w² )

                                      w->0            Uc ->U
                                      w = w0                   Uc -> Q U
                                      w -> + a       Uc -> 0

On étudie Uc = f(w)

Uc      = U / sqr((1- w² / w0²)² + (w² / Q²w0²) )

          = U / sqr ( (1 - x²)² + x²/Q² )

Calcul de d Uc / dx

= (- U / 2) (  [ 2(1 - x²)(-2x) + 2x / Q² ] / [ (1-x²)² + x² / Q² ]^3/2

= - Ux ( 1/Q² - 2 + 2x²)   /   [......]^3/2

D Uc / dx = 0 pour x = 0

                                      pour x² = 1 - (1 / 2Q²)        si 1 - (1/ 2Q²) > 0

                                                          <=> 1 / 2Q² < 1
                                                          <=> Q > 1 / Ö2

Pour Q >> 1

Uc_max pour w » w0

Alors Uc_max = QU
                                | facteur de surtension

On retrouverait le même type de phénomène aux bornes de L

En particulier, à la résonance (w = w0 et quand Q>>0)

Ur = U = Ul + Uc = 0

On aura donc également surtension de QU aux bornes de L (déphasé de p par rapport à Uc)

III - Conclusion

Les composants RLC sont utilisés pour filtrer des fréquences.

Il existe des filtres :
- Passe bas : aux bornes de R laisse passer les fréquences de 0 à f0 = 2p/w0

- Passe haut : aux bornes de R laisse passer les fréquence de f0 = 2p/w0 à a

          * Retour sur RL : Ur/U = R / Ö(R² + L²w²)  Ul/U = Lw / Ö( r² + L²w²)
          Les valeurs max  Ur = Ul = U
          La pulsation de coupure à - 3 dB s'obtient pas Ur = U_max / Ö2
          Pour Ur = U / Ö( 1 + L²w² / R²)       pour 1 + L²w² / R²=2
          Pour Ul = U / Ö( 1 + R² / L²w²)       => w² = R² / L² = w0²

- Passe bande

- Coupe bande (ou réjecteur de fréquence)

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