I] Introduction

                1) Rappels

Réseau électrique : ensemble de dipoles reliés entre eux par un conducteur de résistance négligeable

- Réseau actif : lorsque le réseau contient des dipoles actifs (générateurs), c'est un réseau qui fournit de l'énergie et dont la caractéristique ne passe pas par l'origine.

- Réseau passif : c'est un réseau qui ne contient pas de générateur, il va consommer l'énergie et sa caractéristique passe par l'origine.

                2) Problématique

On s'intéresse aux réseaux électriques contenant des dipoles actifs ou passif linéraires et en régime continu. On va donc établir des lois ou des théorèmes permettant la résolution de ces réseaux

II] Groupement d'éléments passifs

                1) Association de résistances en série

Si on considère une portion AB d'un circuit contenant des résistances, l'enseble de cette portion de circuit étant parcouru par une intensité I

U = U1 + U2 + U3 = R1I + R2I + R3I

U = (R1 + R2 + R3) I

U = Req I

Req = iE_somme Ri

                2) Association de résistances en parallèle

I = I1 + I2 + I3

I = U/R1 + U/R2 + U/R3
  = U (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

I = U / R

1/ Req = iE_somme 1/Ri

Geq = iE_somme Gi

G = conductance (inverse de la résistance)

                3) Montage diviseur de tension

U1 = f(U,R1,R2)

U = (R1+R2)I

U1 = R1I => I = U1 / R1

U = (R1+ R2 ) (U1/R1)

U1 = ( R1 / ( R1+R2 ) ) U

                4) Montage diviseur de courant

I1 = f(I1,R1,R2)

I = I1 + I2

U = R1 I1 = R2 I2  => I2 = R1/R2 I1

I = I1 + R1/R2 I1

I = (1 + R1/R2) I1

I1 = R2 / (R1 + R2) I              Relation diviseur de courant

1/ Req = 1/R1 + 1/R2                            => Req = R1 R2 / (R1+R2)

U = ReqI = R1I1

I1 = (Req I ) / R1

III] Les lois de Kirchhoff

                1) Enoncé des lois

* Loi des noeuds : elle exprime que la somme algébrique des courants qui arrivent à un noeud est égale à la somme algébrique des courants qui en sorte.

I1 + I2 = I3 + I4 + I5

convention : on fait précéder du signe plus les courants qui arrivent sur le noeud et du signe moins les courants qui en sorte

kE_somme ±Ik = 0

                2) Loi des mailles

La loi des mailles traduit le fait que sur un maille, la somme des tensions est nulle. Ayant choisi sur une maille un sens de parcourt arbitraire, on écrit que sur cette maille, jE_somme ± Uj = 0

Les conventions :

- Si le sens de parcourt est dans le même sens que la tension, c'est plus, sinon c'est moins.

jE_somme Rj Ij = jE_somme Ej

Régles d'utilisation :

- On choisi arbitrairement le sens des courants dans les différentes branches

- On choisi sur la maille un sens de parcourt arbitraire

- Le produit RI est précédé du signe plus lorsque le sens de parcourt de la maille coincide avec le sens arbitraire de circulation du courant dans la branche

- Le terme E est précédé du signe de la borne par laquelle on sort en suivant le sens de parcourt de la maille.

                3) Exemples d'application

Exemple 1 :

2 noeuds
3 branches3 mailles => seules 2 mailles sont indépendantes

Loi des noeuds :  I1 = I2 + I3
Loi des mailles  : 1) R1 I1 + R2 I2 = E
                       2) R2I2 - R3I3 = 0
                       3) R3I3 + R1I1 = E

{ I1 = I2 + I3
{ R1 I1 + R2 I2 = E
{ R2 I2 - R3 I3 = 0

(3)           I3 = (R2 / R3) I2

(1)           I1 = I2 + (R2/R3)I2

                I1 = I2 ( 1 + R2/R3 )

(2)           R1 ( 1 + R2/R3)I2 + R2I2 = E

                I2 { R1 ((R2 + R3) / R3) + R2 } = E

                I2 { ( R1R2 + R1R3 + R2R3 ) / R3 } = E

                I2 = E R3 / ( R1R2 + R2R3 + R1R3 )

                I3 = +E R2 / ( R1R2 + R1R3 + R2R3 )

                I1 = E(R2 + R3) / ( R1R2 + R1R3 + R2R3 )

* Exemple 2

R1 = 1 Ohm
R2 = 2 Ohm
R = 10 Ohm
E1 = 6 V
E2 = 12 V

Loi des noeuds

(1)           I3 = I1 + I2

Loi des mailles

(2)           r1I1 + RI3 = E1

(3)           RI3 + r2I2 = E2

(2) <=> I1 = (E1 - RI3 ) / r1

(3) <=> I2 = (E2 - RI3 ) / r2

(1) <=> I3 = (E1 - RI3) / r1  + (E2 - RI3) / r2

I3 ( 1 + R/ r1 + R / r2 ) = E1 / r1  + E2 / r2

I3 ( (r1r2 + r2R + r1R ) / r1r2 = E1E2 + E2E1 / r1r2

I3 = (r2E1 + r1E2) / (r1r2 + Rr1 + Rr2)

I3 = 0.75 A

I1 = - 1.5 A

I2 = 2.25 A

I1 circule donc dans le sens opposé que celui choisi arbitrairement

IV] Théorème de superposition

                1) Enoncé du théorème
La tension entre deux points A et B d'un circuit électrique linéaire comportant plusieurs générateurs est égale à la somme des tensions entre ces deux points lorsque chaque générateur agit seul, les autres étant remplacés par leur résistance interne. De même, l'intensité dans une branche AB d'un circuit électrique linéaire est égale à la somme des intensités dans cette branche lorsque chaque générateur agit seul.

                2) Exemple d'application

1ere étape : On laisse E1 allumé et on enlève E2

Req = Rr2 / R1 + R2

r1I'1 + ReqI'1 = E1

I'1 = E1 / (r1 + (Rr2 / R + r2))

I'1 = (R+r2)E1 / (r1R + Rr2 + r1r2)

I'1 = 2,25 A

U = RI'3 = E1 - r1I'1

I'3 = E1/R - (r1/R) I1

I'3 = 0.375 A

I'2 = (R/r2) I'3

I'2 = -1.875 A

2eme étape :

I"2 = E2 / ( r2 + (r1R / r1+R) )

I"2 = (r1 +R) E2 / ( r1r2 + r1R + r2R )

I"2 = 4,125 A

U = - r1I"1 = RI"3 = E2 - r2I2

{ I"3 = E2/R - (r2/R)I"2

{ I"1 = - E2/r1 + (r2/ri) I"2    => I"1 = - 3,75 A

I1 = I'1 + I"1 = - 1.5 A

I2 = I'2 + I"2 = 2.25 A

I3 = I'3 + I"3 = 0.75 A

V] Thèorème de thévenin

                1) Enoncé de Thévenin

D1 est un ensemble de dipoles contennant des générateurs

D2 est un ensemble de dipoles ne contennant pas de générateurs

Enoncé du théorème : Toute portion de circuit ne comportant que des dipoles actifs et passifs linéaires peut être remplacée par un dipole actif linéaire appelé générateur de thévenin.

Soient deux dipoles d1 et d2 ayant en commun la tension Uab et le courant I. On peut remplacer d1 par un modèle équivalent de thévenin dont la caractéristique est donnée par Uab = E_TH - R_THI

E_TH est la force électromotrice de thévenin et R_TH sa résistance interne.

Lorsqu'on coupe la liaison entre les deux dipoles d1 et d2, on a aux birnes de d1 une intensité nulle et la tension Uab est égale à E_TH  E_TH représente la tension à vide aux bornes de d1. La résistance de thévenin R_TH est la résistance équivalente entre A et B lorsque tous les générateurs du dipole d1 sont éteints

- E_TH

- R_TH

R_TH  = Résistance équivalente de D1 lorsque les générateurs sont éteints

                2) Exemple d'application

E_TH

I = E1 / (r1 + R)

E_TH = RI = RE1 / (r1 + R)

2ème étape : R_TH (résistance lorsque les générateurs sont éteints)

R_TH = R_AB = r1R / (r1 + R)

E_TH = RE2 / (r1 + R)

rI2 + R_TH +I2 = E2 - E_TH

I2 = (E2 - E_TH )/ ( r1 + R_TH )

I2 = ( E2 - (RE1 / r1 + R) ) / ( r2 + (r1R / r1 + R) )

I2 = E2(r1+R) - RE1 / r1r2 + r1R + r2R

I2 = 2.25 A

VI] Transformation Triangle-Etoile (de Kennelly)

R3 = RaRb / (Ra+Rb+Rc)

R2 = RaRc / (Ra+Rb+Rc)

R1 = RbRc / (Ra+Rb+Rc)

Rab ?

Rc = 1*1 / 4 = 0.25 Ohms

Rb = 1*2 / 4 = 0.5 Ohms

Ra = 1*2 / 4 = 0.5 Ohms

Rab = 0.5 + (9/4 * 3/2) / (9/4 + 3/2)

Rab = 1.4 Ohms



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