I] Loi d'ohm en régime quasi-permanent

Les formules reliant la tension et le courant en régime permanent en l'occurence le régime continu sont applicables en régime lentement variable ou quasi permanent à condition de travailler avec les grandeurs instantanées. Certains dipoles comme les condensateurs et les bobines qui se comportaint comme des résistances en régime continu se comportent alors différemment en régime quasi-permanent ou variable.

Régime continu -> Régime quasi-permanent

                U -> u(t)
                I  -> i(t)

P(t) = Ur(t) * i(t)
      = R i²(t)
      = Ur²(t) / R

Lorsqu'on applique une différence de potentiel entre deux armatures conductrices en regard séparées par un isolant, on constate un phénomène d'accumulation de charges sur les armatures traduisant une accumulation d'énergie électrique qui n'est pas dissipé sous forme de chaleur comme dans le cas d'une résistance mais qui peut être au contraire restituée.

Pendant l'instant dt la charge dq du condensateur est égale à : dq = ic(t) dt selon que le condensateur se charge ou se décharge.

Conventions d'orientations :

1 - On suppose que ic(t)>0 et que q(t) diminue (décharge)

                dq / dt <0
                ic(t) = - dq / dt

2 - Ic(t) > 0 et q(t) augmente (charge)

                => dq / dt > 0
                => ic(t) = + dq/dt
                                convention récepteur

Condensateur récepteur

ic(t) = dq / dt

or

q(t) = C Uc(t)

Ic(t) = C ( d Uc(t) / d t )

Uc(t) = 1/C S_intégrale i(t) dt

Convention générateur

Uc(t) = - 1/C S_intégrale i(t) dt

P(t) = Uc(t) ic(t) = ( q(t) / c )*( dq/dt )

P(t) = d W / d t

d W = P(t) dt = 1 / C q(t) dq

W = 1/C  S_intégrale q(t) dq = 1/2C q²(t)

                3) Bobine d'inductance L

On considère une bobine d'inductance L parcourue par un courant i(t). Si i varie dans le temps, le circuit est alors le siège d'une force électromotrice d'induction. La f.e.m s'écrit :

                e(t) = - L di / dt

Le signe '-' signifie que cette f.e.m doit créer dans le circuit un courant ayant pour effet de s'opposer aux variations du courant qui lui ont donné naissance : Loi de Lenz

Conventions :

1 - Si à l'instant t, le courant i(t) augmente,
                => di / dt > 0
La bobine se comporte comme un récepteur de f.c.e.m :
                e = L di / dt > 0

2 - Si à l'instant, i(t) diminue
                => di / dt <0
La bobine se comporte comme un générateur de f.e.m :
                e = - L di/dt < 0

Convention récepteur :

         U_L = L di / dt

              U_L = - L di/dt

P(t) = U_L(t) I(t) = L (di / dt) i(t) = dW / dt

dW = L di i(t)

W = L/2 i²(t)

II] Classification des systèmes et des régimes

{ RC

{ RL

III] Circuit RC série

Ur + Uc = E

Ur = Ri(t) = R dq / dt

Uc = q(t) / c

q(t) = C Uc(t)

=> dq / dt = C dUc / dt

R (dq / dt) + (q / c) = E

RC ( d Uc / dt ) + Uc = E

Solution particulière

Uc(t) = K

=> Uc(t) = E

Solution de l'équation sans second membre

RC (dUc / dt) + Uc = 0

dUc / dt + 1/Rl Uc = 0

To = RC = constante de temps du circuit

dUc / dt + Uc / To = 0

dUc / dt = - 1/To Uc

S_intégrale dUc/dt = - 1/C S_intégrale dt

ln Uc = - t/To + K'

Uc(t) = e^{(-t/To + K')} 

Uc(t) = K e^-t/To

Uc(t) = E + Ke^-t/To
                                                |
                                                Condition initiale

à t=0, q(t)=0

E + Ke⁰ = 0 => K=-E

Uc(t) = E ( 1 - e^-t/TO )

Ur(t) + Uc(t) = E

Ur(t) = E - Uc(t) = Ee^-t/To

dUc / dt = E / To e^-t/To

=> Uc(t) est strictement croissante

lim Uc(t) = 0
t->0

lim Uc(t) = E
t->8

e^x = 1 + x
x->0

e^-t/To = 1 - t/To
t->0

Pour t->0

Uc(t) =environ E(1 - (1-t/To))

Uc(t) =environ E t/To

Ur(t) = E e^-t/To

t=To

Uc(t=To)= E (1- 1/e) = 0,63 E

Ur(t=To)=0.37E

t=4To

Uc(t=4To)=E(1-e^-4)=0.98E

Uc(t)=q(t) / C

q(t)= EC(1-e^-t/To)

q_max = EC
                (t->8)

Uc-Ur=0

Uc=Ur

Ur= R i(t) =  - R dq/dt
                                                |
                                                Condensateur est un générateur

Ur(t) = - R dq/dt = - RC dUc / dt

Uc - (- RC d Uc / dt) = 0

dUc / dt + Uc / RC = 0

Solution de l'équation différentielle

Uc(t) = Ke^-t/To

à t=0 Uc(t)=E         =>           Uc(t)=E e^-t/To

T=4To    =>           Uc(t) = 0.02E

Ur(t) = Ee^-t/To

-> Charge

Energie fournie par le générateur

P(t) = dW / dt = E i(t)

dW = E i(t) dt

Ur(t)= Ee^-t/To = R i(t)

=> i(t) = E/R e^-t/To

dW = E * (E/R e^-t/To  )

W = S_intégrale E²/R e^-t/To dt = E²/R S_intégrale e^-t/To dt

W = E²/R (-t)[e^-t/To]^T/2

W = - CE² (e^-t/2To - 1)

W = CE² (1 - e^-t/2To)

Wr : énergie dissipée par effet joule

dWr = R i²(t)dt

Wr =  ( 0->T/2 S_intégrale ) i²(t)dt

                = ( 0->T/2 S_intégrale ) e^-2t/To dt

Wr = - t/To E²/R { e^-t/To -1} = CE²/2 {1 - e^-t/To }

dWc = Uc(t) i(t) dt

                                { i(t) = E/R e^-t/To

                                { Uc(t) = E {1 - e^-t/To)

Wc = (0->T/2 S_intégrale ) Uc(t) i(t) dt

Wc = E²/R (0->T/2 S_intégrale ) e^-t/To dt   -   E²/R (0->T/2 S_intégrale ) e^-2t/To dt

Wc = W - Wr

->Décharge

Wr= (0->T/2 S_intégrale ) R i²(t) d(t)
   = E²/R (0->T/2 S_intégrale ) e^-2t/To dt
   = 1/2 CE² { 1 - e^-t/To)

décharge i(t)=E/R e^-t/To

Wc = (0->T/2 S_intégrale ) Uc(t) i(t) dt
     = (0->T/2 S_intégrale ) Ee^-t/To E/R e^-t/To dt
     = E²/R (0->T/2 S_intégrale ) e^-2t/To dt
     = Wr

IV] Réponse d'un circuit RL série à un échelon de tension

Soit une résistance R, une bobine d'inductance L et i(t)

La bobine se comporte comme un récepteur

Ul = L di/dt

E = Ur + Ul

Ri + L di/dt = E

To = L/R = Temps caractéristique

di/dt + 1/To i(t) = E/L

* i(t) = E/R

* di / dt + 1/To i(t) = 0

                i(t) = K e^-t/To

i(t) = K e^-t/To + E/R

La condition initiale est : à t=0, i(t)=0

i(t)=E/R { 1 - e^-t/To }

Ul(t)        = L di/dt

                                = LE/l 1/To e^-t/To

Ul(t)        = E e^-t/To

La bobine se comporte comme un générateur

Ul(t) = -L di/dt

Ur(t) = Ul(t)

Ur - Ul = 0

Ri(t) - { - L di/dt }= 0

L di/dt + Ri(t) = 0

i(t) = K e^-t/To

condition initiale : à t=0, i(t)=E/R

Ul(t) = Ur(t) = Ri(t) = Ee^-t/To

Ul=-L di/dt = -L × E/R (-1/To) e^-t/To = E e^-t/To

Bilan :

- Pour l'établissement d'un courant

i(t) = E/R {1- e^-t/To}

Ul(t) = Ee^-t/To

- Pour la coupure du courant

i(t)=E/R e^-t/To

Ul(t)=Ee^-t/To

* Etablissement du courant

W = (0 -> T/2 S_intégrale) E i(t) dt
    = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) {1 - e^-t/To)dt

W = E²/R { T/2 - To (e^-t/2To - 1) }
   = E²/R { T/2 - L/R (1 - e^-t/2To) }

Wr = (0 -> T/2 S_intégrale) Ri²(t)dt
    = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) (1- 2e^-t/To + e^-2t/To)dt

Wr = E²/R { T/2 - 2L/R (1 - e^-t/2To) - To/2 ( e^-t/To - 1) }
    = E²/R { T/2 - 3/2 L/R + 2L/R e^-t/2To - L/2R e^-t/2To }

Wl = (0 -> T/2 S_intégrale) Ul(t) i(t) dt
    = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) (e^-t/To - e^-2t/To)dt
    = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) (1 - e^-t/To)dt  -  (0 -> T/2 S_intégrale)(1 - 2e^-t/To + e^-2t/To)dt

* Coupure de courant

Wl  = (0 -> T/2 S_intégrale) R + i²(t)
     = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) e^-2t/To dt
     = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) Ul(t) i(t) dt
     = E²/R (0 -> T/2 S_intégrale) e^-2t/To dt

=> Wl=Wr



^{Source : www.SNOCLUB.fr.st – Auteur : Inc.}
ÓSNOCLUB.fr.st